POWRÓT |
7.4 Hipotezy
o równości dwóch wariancji
Jak pamiętamy, zarówno przy wyznaczaniu przedziału ufności
jak i weryfikowaniu hipotezy o równości średnich dwóch populacji
generalnych, zakładaliśmy, że wariancje analizowanej cechy o rozkładzie
normalnym w obu populacjach są jednakowe. W tym rozdziale zajmiemy się
sprawdzaniem tego założenia.
Niech
s12
oraz s22
będą niezależnymi średnimi kwadratami z populacji o rozkładach normalnych
. Jeżeli prawdziwa jest
hipoteza H0:
s12=
s22
to statystyka:
(7.4)
gdzie:
ma rozkład F
Fishera-Snedecora z liczbami stopni swobody u=n1-1 i v=n2-1,
gdzie u jest liczbą stopni swobody dla wariancji w liczniku, a v liczbą
stopni swobody dla wariancji w mianowniku.
Procedura weryfikacji hipotezy o równości wariancji w
populacjach generalnych przebiega następująco:
1.
wyznaczamy wartość empiryczną statystyki F Fishera-Snedecora
(tak, aby była większa od jedności) wg wzoru (7.4);
2.
dla
ustalonego poziomu istotności
a
odczytujemy z tablic (tablica 6) wartość krytyczną Fa,u,v
, otrzymując w ten sposób obszar krytyczny dla hipotezy;
3.
wnioskowanie: jeżeli Fobl > Fa,u,v
to H0: s12=
s22
odrzucamy na poziomie istotności
a; wariancje w
badanych populacjach różnią się istotnie. Jeżeli warunek powyższy nie jest
spełniony, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej; wyniki
naszego eksperymentu nie przeczą hipotezie, że wariancje w badanych
populacjach są sobie równe.
Na rysunku obok przedstawiono
wykres funkcji gęstości rozkładu F dla ustalonej pary liczb stopni
swobody. Zaznaczony został obszar krytyczny oraz dopuszczalny dla
hipotezy o równości dwóch wariancji przy poziomie istotności
a. |
|
Przykład 7.4
Sprawdzić na poziomie
istotności a=0,05
hipotezę, że dwie gminy: A i B charakteryzuje podobne zróżnicowanie
obszarowe gospodarstw. W celu weryfikacji tej hipotezy wybrano losowo
w gminie A 12 gospodarstw, a w gminie B 9 gospodarstw.. Dla obu gmin
wyznaczono wartości wariancji wielkości powierzchni jaka przypada na
gospodarstwo i otrzymano następujące wielkości: gmina A – 7,9 ha2,
gmina B - 19,8 ha2.
Rozwiązanie:
1)
formułujemy hipotezę zerową: H0:
s12
=
s22,
wobec hipotezy alternatywnej: H0:
s12
≠
s22
2) ze wzoru 7.4 wyznaczamy wartość empiryczną
statystyki F Fishera-Snedecora. Do licznika wstawiamy wariancję
większą (gmina B), a zatem:
3) z tablic
rozkładu F Fishera-Snedecora (tablica 6) dla
a=0,05
oraz dla stopni swobody: u= 9-1=8, v=12-1=11, odczytujemy F0,05,8,11=2,95
4) ponieważ F < F0,05,8,11
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0, zatem
przyjmujemy, że w obu gminach zróżnicowanie obszarowe gospodarstw jest
w przybliżeniu równe. |
Do testowania hipotez o równości wariancji dwóch populacji generalnych można
także wykorzystywać arkusz kalkulacyjny Excel. Do tego celu służy zawarta w
menu Narzędzia opcja
Analiza danych z narzędziem:
Test F: z dwiema próbami dla wariancji.
Schemat testowania hipotez o równości wariancji dwóch populacji generalnych
za pomocą arkusza kalkulacyjnego Excel podany jest na rysunkach w
przykładzie 7.5.
Przykład 7.5
W przykładzie
7.3 do weryfikacji hipotezy, że w okresie 8 ostatnich miesięcy w
miejscowości M było tyle samo bezrobotnych kobiet co mężczyzn
(hipotezy o równości średnich dwóch populacji generalnych),
przyjęliśmy założenie o równości wariancji tych populacji. Korzystając
z danych przykładu 7.3 sprawdzić, czy przyjęte założenie o równości
wariancji było słuszne.
Rozwiązanie
przykładu:
Formułujemy hipotezę zerową:H0:s12=s22,
wobec hipotezy alternatywnej: H0:s12≠s22
|
|
|
|
|
Ponieważ Fobl=1,02 <
F0,05,7,7=3,78, tym samym
nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0:s12=s22.
Oznacza to jednocześnie, że przyjęte w przykładzie 7.3 założenie o
równości wariancji, wymagane do testowania hipotezy o równości
średnich generalnych było słuszne. |
|
|
|
|
|
|
|