POWRÓT

7.4   Hipotezy o równości dwóch wariancji

 

          Jak pamiętamy, zarówno przy wyznaczaniu przedziału ufności jak i weryfikowaniu hipotezy o równości średnich dwóch populacji generalnych, zakładaliśmy, że wariancje analizowanej cechy o rozkładzie normalnym w obu populacjach są jednakowe. W tym rozdziale zajmiemy się sprawdzaniem tego założenia.

      Niech s12 oraz s22 będą niezależnymi średnimi kwadratami z populacji o rozkładach normalnych . Jeżeli prawdziwa jest  hipoteza H0: s12= s22 to statystyka:

                                                                                                                                  (7.4)

gdzie:

ma rozkład F Fishera-Snedecora z liczbami stopni swobody u=n1-1 i v=n2-1, gdzie u jest liczbą stopni swobody dla wariancji w liczniku, a v liczbą stopni swobody dla wariancji w mianowniku.

 

         Procedura weryfikacji hipotezy o równości wariancji w populacjach generalnych przebiega następująco:

1.      wyznaczamy wartość empiryczną statystyki F Fishera-Snedecora (tak, aby była większa od jedności) wg wzoru (7.4);

2.      dla ustalonego poziomu istotności a odczytujemy z tablic (tablica 6) wartość krytyczną Fa,u,v , otrzymując w ten sposób obszar krytyczny dla hipotezy;

3.      wnioskowanie: jeżeli Fobl  > Fa,u,v   to H0: s12= s22 odrzucamy  na  poziomie istotności a; wariancje w badanych populacjach różnią się istotnie. Jeżeli warunek powyższy nie jest spełniony, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej; wyniki naszego eksperymentu nie przeczą  hipotezie,  że wariancje  w badanych populacjach są sobie równe.

 

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji gęstości rozkładu F dla ustalonej pary liczb stopni swobody. Zaznaczony został obszar krytyczny oraz dopuszczalny dla hipotezy o równości dwóch wariancji przy poziomie istotności a.

Przykład 7.4

Sprawdzić na poziomie istotności a=0,05 hipotezę, że dwie gminy: A i B charakteryzuje podobne zróżnicowanie obszarowe gospodarstw. W celu weryfikacji tej hipotezy wybrano losowo w gminie A 12 gospodarstw, a w gminie B 9 gospodarstw.. Dla obu gmin wyznaczono wartości wariancji wielkości powierzchni jaka przypada na gospodarstwo i otrzymano następujące wielkości: gmina A – 7,9 ha2, gmina B - 19,8 ha2.

Rozwiązanie:

1) formułujemy hipotezę zerową: H0: s12 = s22, wobec hipotezy alternatywnej: H0: s12 s22

2) ze wzoru 7.4 wyznaczamy wartość empiryczną statystyki F Fishera-Snedecora. Do licznika wstawiamy wariancję większą (gmina B), a zatem:

 

3) z tablic rozkładu F Fishera-Snedecora (tablica 6) dla a=0,05 oraz dla stopni swobody: u= 9-1=8, v=12-1=11, odczytujemy F0,05,8,11=2,95

4) ponieważ F < F0,05,8,11 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0, zatem przyjmujemy, że w obu gminach zróżnicowanie obszarowe gospodarstw jest w przybliżeniu równe.

          Do testowania hipotez o równości wariancji dwóch populacji generalnych można także wykorzystywać arkusz kalkulacyjny Excel. Do tego celu służy zawarta w menu Narzędzia opcja Analiza danych z narzędziem: Test F: z dwiema próbami dla wariancji. Schemat testowania hipotez o równości wariancji dwóch populacji generalnych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Excel podany jest na  rysunkach w przykładzie 7.5.

Przykład 7.5

W przykładzie 7.3 do weryfikacji hipotezy, że w okresie 8 ostatnich miesięcy w miejscowości M było tyle samo bezrobotnych kobiet co mężczyzn (hipotezy o równości średnich dwóch populacji generalnych), przyjęliśmy założenie o równości wariancji tych populacji. Korzystając z danych przykładu 7.3 sprawdzić, czy przyjęte założenie o równości wariancji było słuszne.

Rozwiązanie przykładu:

Formułujemy hipotezę zerową:H0:s12=s22, wobec hipotezy alternatywnej: H0:s12s22

 

 

 

Ponieważ Fobl=1,02 < F0,05,7,7=3,78, tym samym nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0:s12=s22. Oznacza to jednocześnie, że przyjęte w przykładzie 7.3 założenie o równości wariancji, wymagane do testowania hipotezy o równości średnich generalnych było słuszne.

 

   
 
   
POWRÓT