Doświadczeniem losowym nazywamy proces przyrodniczy lub zaplanowane doświadczenie, odbywające się w określonych warunkach, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć.

Zdarzeniem losowym nazywamy każdy możliwy wynik doświadczenia losowego, wyróżniony ze względu na pewien specyficzny warunek.

Zdarzenie elementarne jest to zdarzenie losowe, które nie rozkłada się na prostsze zdarzenia. Zdarzeniem elementarnym jest każdy z możliwych wyników doświadczenia losowego, np. wyrzucenie sześciu oczek przy rzucie kostką do gry, wylosowanie sprawnego odbiornika telewizyjnego. Zdarzenia elementarne oznaczać będziemy v_i .

Przestrzenią zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych i oznaczamy W.

W = {v₁, v₂, . . . , v_n }.

Uwaga 1: Jeżeli v_i Î A, to mówimy, że “zdarzenie elementarne v_i sprzyja zdarzeniu A”. Często używa się określenia “zdarzenie losowe A zachodzi”.

Uwaga 2: Ponieważ w teorii prawdopodobieństwa interesują nas wyłącznie doświadczenia losowe i zdarzenia losowe, będziemy często opuszczali słowo “losowe”.

Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie, o którym wiadomo, że w określonym doświadczeniu losowym musi zajść, np. w rzucie kością do gry wyrzucenie liczby oczek mniejszej od 7.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie, o którym wiemy, że w określonym doświadczeniu losowym nie zajdzie. Zdarzenie niemożliwe nie zawiera żadnych zdarzeń elementarnych. Odpowiada mu zbiór pusty.

Suma (alternatywa) zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy zajdzie zdarzenie A lub zdarzenie B, albo oba te zdarzenia jednocześnie. Oznaczamy ją symbolem A Č B. Suma zdarzeń A Č B składa się ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład A oraz ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład B.

Iloczyn (koniunkcja) zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i jednocześnie zachodzi zdarzenie B. Iloczyn A i B oznaczamy A Ç B.

Różnica zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B. Różnicę zdarzeń A i B oznaczamy A - B.

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (dopełnienie zdarzenia A) jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy nie zachodzi A. Oznaczamy je A’. A’ = W - A. Wynika z tego, że: A Č A’ = W , ponadto, że: A Ç A’ = Ć .

Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. Podamy dwie z nich: tzw. definicję klasyczną, sformułowaną przez P. Laplace'a, oraz definicję aksjomatyczną (opartą na pewnikach), której autorem jest A.N. Kołmogorow.

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa: Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym, złożonym z N jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest liczbą określoną wzorem:

Gdy zbiór W jest nieskończenie liczny lub gdy zdarzenia elementarne nie są jednakowo możliwe, korzystamy z ogólniejszej, aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa. A.N. Kołmogorow sformułował trzy aksjomaty zastępując formalną definicję prawdopodobieństwa zdarzenia losowego.

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa: Każdemu zdarzeniu losowemu A zawartemu w W przyporządkowana jest jednoznacznie liczba P(A), zwana prawdopodobieństwem realizacji tego zdarzenia, taka że:

1. 0 <= P(A) <= 1.

2. P( W ) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równe jest 1).

3. Gdy zdarzenia A i B wykluczają się, tzn. A Ç B = Ć , wówczas:

3’. Jeśli zdarzenia A₁, A₂, A₃, ... , A_n , A_n+1, ... tworzą ciąg (skończony lub nieskończony) zdarzeń losowych parami się wykluczających, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw, tzn.:

Z definicji aksjomatycznej prawdopodobieństwa wynikają następujące własności prawdopodobieństwa:

a) P( Ć ) = 0, gdzie Ć jest symbolem zdarzenia niemożliwego

b) P(A’) = 1 - P(A)

c) 0 <= P(A) <= 1

d) gdy A Ě B, to P(A) < P(B)

e) P(A Č B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B) dla dowolnych zdarzeń A i B.

Dany jest ciąg kilku doświadczeń losowych. O doświadczeniach tych mówimy, że są próbami niezależnymi, gdy wynik każdego z nich nie zależy od wyników pozostałych doświadczeń.

Zdarzenia A i B są niezależne, gdy:

Wzór (1.3.1) o iloczynie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych można uogólnić na większą liczbę zdarzeń (n zdarzeń), wprowadzając pojęcie niezależności zespołowej (grupowej).

Zdarzenia A₁ , A₂ , ..., A_n są niezależne zespołowo, gdy dla dowolnej kombinacji m różnych zdarzeń spośród nich:

gdzie m ą n

Uwaga: Niezależność zespołowa zdarzeń pociąga za sobą niezależność parami (dowolnych dwóch z nich, różnych zdarzeń), np.: jeśli zdarzenia A₁, A₂ i A₃ są niezależne zespołowo, to wówczas niezależne są zdarzenia: A₁ i A₂ , A₁ i A₃ oraz A₂ i A₃. Należy jednak podkreślić, że nie jest na odwrót. Z niezależności zdarzeń parami nie wynika ich niezależność zespołowa. Może się zdarzyć, ze zdarzenia są niezależne parami, lecz nie są niezależne zespołowo.

Prawdopodobieństwo P(A | B) nazywamy warunkowym i czytamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, przy warunku, że zaszło zdarzenie B. Dla zdarzeń niezależnych prawdziwe są wzory:

co oznacza, że fakt zajścia zdarzenia B nie zmienia faktu zajścia zdarzenia A i na odwrót. Natomiast dla dowolnych dwu zdarzeń prawdopodobieństwo warunkowe P(A | B) równe jest:

Uwaga 1: Należy rozróżniać pojęcie niezależności zdarzeń od wykluczania się zdarzeń. Są to zupełnie różne pojęcia, mimo że istnieją zdarzenia jednocześnie wykluczające się i niezależne. Przykładem takich zdarzeń (wykluczających i niezależnych jednocześnie) jest:

A - dowolne zdarzenie i Ć - zdarzenie niemożliwe.

A Ç Ć = Ć , a zatem:

P( A Ç Ć ) = P( Ć ) = 0 = P(A) * 0 = P(A) * P( Ć ).

Zasadniczo jednak zdarzenia niezależne nie muszą być zdarzeniami wykluczającymi się. Łatwo zauważyć, że zdarzeniami, które są niezależne, ale nie wykluczają się są: A - zdarzenie dowolne i W - zdarzenie pewne. Ponieważ A Ç W = A, więc: P(A Ç W ) = P(A).

P( W ) = 1, a to oznacza, że:

P( A Ç W ) = P(A) = P(A) * 1 = P(A) * P(W), mimo że: A Ç W ą Ć .

Uwaga 2: Obliczając prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, musimy zawsze uwzględnić to, czy zdarzenia są niezależne, czy też są zależne. Natomiast przy obliczaniu prawdopodobieństwa sumy zdarzeń musimy uwzględnić fakt, czy zdarzenia wykluczają się wzajemnie, czy też nie.

Mówimy, że ciąg (seria) doświadczeń jest wykonywany zgodnie ze schematem Bernoulliego, jeżeli spełnione są warunki:

dla k = 0, 1, ..., n, natomiast p oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu. Symbol nazywamy symbolem Newtona: