Przykład 2.14

W produkcji wyrobów pewnego wytwórcy znajduje się 25% wyrobów I gatunku. Pozostała część to gatunek II. Odbiorca zakupił od tego wytwórcy 10 sztuk wyrobów.

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów tylko 1 sztuka będzie I gatunku.

b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów tylko 4 sztuki będą II gatunku.

c) Jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?

Rozwiązanie przykładu:

Niech zmienna losowa X określa liczbę sztuk wyrobów I gatunku w partii 10 sztuk wyrobów zakupionych przez odbiorcę. Zmienna losowa X przyjmuje wartości: 0, 1, 2, ...,10 i podlega rozkładowi Bernoulliego (wybór sztuk do zakupu jest losowy). Jako “sukces” w pojedynczej próbie przyjmijmy wylosowanie z całej produkcji wyrobu I gatunku. Wówczas:

p = 0,25 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu I gatunku),

q = 0,75 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu II gatunku),

k - liczba sztuk wyrobów I gatunku w zakupionej partii 10 sztuk.

Mamy rozkład rozważanej zmiennej losowej:

dla k = 0, 1, ..., 10.

a) Należy obliczyć P(X = 1).

Prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów tylko 1 sztuka będzie I gatunku wynosi około 0,19.

b) Fakt, że wśród zakupionych wyrobów tylko 4 sztuki będą II gatunku oznacza, że 6 sztuk będzie I gatunku.A zatem musimy obliczyć P(X=7).

Szukane prawdopodobieństwo wynosi około 0,02.

c) W tym punkcie należy obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej określającej liczbę sztuk wyrobów I gatunku w partii 60 sztuk wyrobów zakupionych przez odbiorcę. Oznaczmy tę zmienną przez Y. Mamy n = 50 oraz p = 0,25. A zatem, zgodnie ze wzorem (2.6.5) otrzymujemy: E(X) = 60 * 0,25 = 15. A zatem odbiorca może oczekiwać, że w partii 60 sztuk wyrobów będzie średnio 15 sztuk gatunku I.