Przykład 2.14
W produkcji wyrobów pewnego wytwórcy znajduje się 25% wyrobów I gatunku. Pozostała część to gatunek II. Odbiorca zakupił od tego wytwórcy 10 sztuk wyrobów.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów tylko 1 sztuka będzie I
gatunku.b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów tylko 4 sztuki będą II gatunku.
c) Jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?
Rozwiązanie przykładu:
Niech zmienna losowa X ok
reśla liczbę sztuk wyrobów I gatunku w partii 10 sztuk wyrobów zakupionych przez odbiorcę. Zmienna losowa X przyjmuje wartości: 0, 1, 2, ...,10 i podlega rozkładowi Bernoulliego (wybór sztuk do zakupu jest losowy). Jako “sukces” w pojedynczej próbie przyjmijmy wylosowanie z całej produkcji wyrobu I gatunku. Wówczas:p = 0,25 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu I gatunku),
q = 0,75 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu II gatunku),
k - liczba sztuk wyrobów I gatunku w zakupionej partii 10 sztuk.
Mamy
rozkład rozważanej zmiennej losowej:dla k = 0, 1, ..., 10.
a) Należy obliczyć P(X = 1).
Prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów tylko 1 sztuka będzie I gatunku wynosi około 0,19.
b) Fakt, że wśród zakupionych wyrobów tylko 4 sztuki będą II gatunku oznacza, że 6 sztuk będzie I gatunku.A zatem musimy obliczyć P(X=7).
Szukane prawdopodobieństwo wynosi około 0,02.
c) W tym punkcie należy obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej określającej liczbę sztuk wyrobów I gatunku w partii 60 sztuk wyrobów zakupionych przez odbiorcę. Oznaczmy tę zmienną przez Y. Mamy n = 50 oraz p = 0,25. A zatem, zgodnie ze wzorem (2.6.5)
otrzymujemy: E(X) = 60 * 0,25 = 15. A zatem odbiorca może oczekiwać, że w partii 60 sztuk wyrobów będzie średnio 15 sztuk gatunku I.