Firma ubezpieczeniowa ocenia, że każdego roku 1% ubezpieczonych mieszkań jest okradanych. W danym roku w firmie ubezpieczono od kradzieży 100 mieszkań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że firma będzie musiała wypłacić odszkodowanie więcej niż trzy razy?

Niech zmienna losowa X oznacza liczbę ubezpieczonych mężczyzn. Jest to zmienna o rozkładzie Bernoulliego, gdzie: n = 100, p = 0,01, przy czym za “sukces” rozumie się okradzenie mieszkania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że firma będzie musiała wypłacić odszkodowanie więcej niż trzy razy, oznacza obliczenie prawdopodobieństwa, że zmienna X przyjmie wartość większą niż 3: P(X>3) = 1 - P(X <= 3).

Wartość P(X <= 3) możemy obliczyć korzystając ze wzoru (2.6.4) . Jednakże rachunki są w tym przypadku dość uciążliwe, ze względu na dużą wartość n. Zadanie to wygodniej rozwiążemy posługując się rozkładem Poissona. Pamiętając, że dla dużych n i małych p rozkład Bernoulliego można zastąpić rozkładem Poissona, w celu znalezienia interesującego prawdopodobieństwa wykorzystamy wzór (2.6.8) . Pozostaje obliczyć wartość l. Na podstawie wzoru (2.6.9) mamy:

l = np = 100 × 0,01 = 1. Zatem otrzymujemy, przy l = 1: