Przykład 2.18

Czas trwania mycia auta wraz z woskowaniem w myjni M ma rozkład prostokątny w przedziale od 20 min do 40 min. Oblicz:

a) Średni czas mycia z woskowaniem w tej myjni i odchylenie standardowe tego czasu.

b) Prawdopodobieństwo, że losowy klient będzie czekał na wykonanie zabiegu od 30 do 35 min.

c) Prawdopodobieństwo, że losowy klient będzie czekał na wykonanie zabiegu ponad 35 min.

Rozwiązanie przykładu:

Niech X będzie zmienną losową oznaczającą czas trwania mycia z woskowaniem w minutach. Mamy: a = 20, b = 40. Zmienna X ma rozkład prostokątny o funkcji gęstości:

i dystrybuancie:

a) Korzystając ze wzorów (2.6.14) i (2.6.15) , natychmiast dostajemy wartości poszukiwanych parametrów:

i stąd:

Średni czas zabiegu wynosi 30 min, a odchylenie standardowe tego czasu około 5,77 minut.

b) Poszukiwane prawdopodobieństwo można obliczyć wykorzystując wzór (2.4.2) , tzn. całkując naszą funkcję gęstości w przedziale <30, 35>. Jednakże najwygodniej jest wykorzystać w tym celu dystrybuantę wzór (2.4.3) , której postać znaleźliśmy na początku rozwiązania:

c) Postępując podobnie jak w punkcie poprzednim:

Zauważmy, że prawdopodobieństwa poszukiwane w punktach a) i b) możemy również obliczyć sposobem geometrycznym, licząc pole powierzchni prostokątów o odpowiednich długościach boków. Wynika to z faktu, że wartości tego typu prawdopodobieństw są równe polu powierzchni pod wykresem funkcji gęstości w odpowiednim przedziale.