Przykład 2.7
Rzucamy dwiema monetami. Niech zmienną losową X będzie liczba wyrzuconych orłów. Określić rozkład tej zmiennej losowej podając funkcję rozkładu prawdopodobieństwa. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.
Rozwiązanie przykładu:
Rozważana zmienna losowa X może przyjmować wartości: 0, 1, 2.
Mamy cztery zdarzenia elementarne (R oznacza wyrzucenie reszki, O
orła):(R, R) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 0,
(R, O) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 1,
(O, R) - wówczas zmienna losowa
również przyjmuje wartość 1,(O, O) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 2.
Obliczamy prawdopodobieństwa:
p1
= P(X = 0) = 0,25, gdyż realizacji wartości 0 sprzyja jedno zdarzenie elementarne, p2 = P(X = 1) = 0,5, gdyż wypadnięciu jednego orła sprzyjają dwa zdarzenia elementarne, p3 = P(X = 2) = 0,25, gdyż pojawieniu się dwóch orłów sprzyja jedno zdarzenie elementarne.W ten sposób określiliśmy rozkład prawdopodobieństwa za pomocą wzoru.
Rozkład zmiennej losowej X można przedstawić tabelą:xi | x1 = 0 | x2 = 1 | x3 = 2 |
pi | p1 = 0,25 | P2 = 0,5 | p3 = 0,25 |
Wyznaczmy teraz dystrybuantę rozpatrywanej zmiennej losowej X.
Dla wybranych realizacji zmiennej, wartości dystrybuanty są następujące:
F(0)=P(X <= 0)=P(X = 0)=0,25
F(1)=P(X <= 1)=P(X = 0 lub X = 1)=P(X = 0) + P(X = 1)=0,25+0,50=0,75
F(2)=P(X <= 2)=P(X = 0 lub X = 1 lub X = 2)=0,25+0,50+0,25=1
A zatem ogólna postać dystrybuanty przedstawia się wzorem: