Przykład 2.7

Rzucamy dwiema monetami. Niech zmienną losową X będzie liczba wyrzuconych orłów. Określić rozkład tej zmiennej losowej podając funkcję rozkładu prawdopodobieństwa. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.

Rozwiązanie przykładu:

Rozważana zmienna losowa X może przyjmować wartości: 0, 1, 2.

Mamy cztery zdarzenia elementarne (R oznacza wyrzucenie reszki, O orła):

(R, R) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 0,

(R, O) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 1,

(O, R) - wówczas zmienna losowa również przyjmuje wartość 1,

(O, O) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 2.

Obliczamy prawdopodobieństwa:

p1 = P(X = 0) = 0,25, gdyż realizacji wartości 0 sprzyja jedno zdarzenie elementarne, p2 = P(X = 1) = 0,5, gdyż wypadnięciu jednego orła sprzyjają dwa zdarzenia elementarne, p3 = P(X = 2) = 0,25, gdyż pojawieniu się dwóch orłów sprzyja jedno zdarzenie elementarne.

W ten sposób określiliśmy rozkład prawdopodobieństwa za pomocą wzoru. Rozkład zmiennej losowej X można przedstawić tabelą:

xi

x1 = 0

x2 = 1

x3 = 2

pi

p1 = 0,25

P2 = 0,5

p3 = 0,25

Wyznaczmy teraz dystrybuantę rozpatrywanej zmiennej losowej X.

Dla wybranych realizacji zmiennej, wartości dystrybuanty są następujące:

F(0)=P(X <= 0)=P(X = 0)=0,25

F(1)=P(X <= 1)=P(X = 0 lub X = 1)=P(X = 0) + P(X = 1)=0,25+0,50=0,75

F(2)=P(X <= 2)=P(X = 0 lub X = 1 lub X = 2)=0,25+0,50+0,25=1

A zatem ogólna postać dystrybuanty przedstawia się wzorem: