Przykład 3.2

Wydajność pracy w firmie przeładunkowej “P” (w tonach/godz.) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 10 ton/godz. i odchyleniem standardowym 4 tony/godz. Pracownicy pracują w zespołach 16 osobowych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

a) losowo wybrany pracownik z tej firmy pracuje z wydajnością większą niż 13 ton/godz.,

b) średnia wydajność zespołu jest większa niż 13 ton/godz.

Rozwiązanie przykładu:

Niech zmienna losowa X oznacza wydajność pracowników w firmie “P”. X ma rozkład normalny N(10; 4).

a) Należy obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmuje wartości większe od 13:

P(X > 13). W celu obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się zmienną losową U (wzór 2.6.20) o rozkładzie normalnym standaryzowanym. U nas U =(X-10)/4. Mamy więc:

Po odczytaniu z tablic wartości dystrybuanty dla u = 0,75 dla rozkładu standaryzowanego, mamy: P(X > 13) = 1 - 0,773 = 0,227.

Obliczone prawdopodobieństwo oznacza, że w badanej firmie jest około 22,7% pracowników, których wydajność jest większa od 13 ton/godz.

b) Średnia wydajność 16-osobowego zespołu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią m = 10 ton/godz. i odchyleniu standardowym

.

Odczytując z tablic wartość dystrybuanty rozkładu standaryzowanego dla z = 3, mamy:

Interesujące prawdopodobieństwo przyjmuje bardzo małą wartość, praktycznie bliską zeru. Wynik jest dość oczywisty i zgodny z regułą trzech sigm.