2.1. Prawdopodobieństwo tego, że statystyczny student nie jest przygotowany do ćwiczeń wynosi p = 1/3. Prowadzący zajęcia wybiera losowo cztery osoby. Niech wartościami zmiennej losowej X będzie liczba osób nie przygotowanych do ćwiczeń spośród wybranych. Podać rozkład tej zmiennej losowej, jej parametry i funkcję dystrybuanty. Obliczyć P(1 < X < 3).

2.2. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem l=2. Obliczyć i odczytać w tablicach:

2.3. Wadliwość produkcji pewnego zakładu wynosi 0,1%. Pobieramy losowo 100 sztuk towaru. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród nich są co najwyżej dwie sztuki wadliwe.

2.4. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy przy p = 1/3 i n = 5. Podać tabelę f.r.p., funkcję dystrybuanty oraz obliczyć podstawowe parametry.

2.5. Na tarczę, podzieloną na 37 jednakowych pól ponumerowanych numerami: 0, 1, 2, ...,36, rzucamy kulę. Znaleźć f.r.p. i dystrybuantę zmiennej losowej X określonej następująco:

X = -2, jeśli kula padnie na pole o numerze parzystym,

X = 0, jeśli kula padnie na pole o numerze nieparzystym,

X = 36, jeśli kula padnie na pole o numerze 0.

2.6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pięciu doświadczeniach opisanych w zadaniu 6 co najmniej raz zmienna losowa X przyjmie wartość 36.

2.7. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej X określona jest wzorem:

Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe.

2.8. Metro na pewnej trasie kursuje ściśle co 5 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pasażer przybywający na peron będzie czekał na najbliższy pociąg:

a) mniej niż 3 minuty, b) ponad 4 minuty.

2.9. Zmienna losowa X ~ N(25; 4). Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmie wartość z przedziału <22; 27>.

2.10. Zmienna losowa X ma rozkład N(16;2). Obliczyć prawdopodobieństwa:

a) P( | X - 16 | < 2),

b) P( | X - 16 | < 4),

c) P( | X - 16 | < 6).

2.11. Staż pracy osób na kierowniczych stanowiskach opisuje f.g.p.:

2.12. W pewnym okręgu zaobserwowano w ciągu 25 lat średnio 3 wykolejenia pociągów rocznie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

a) liczba wypadków nie przekroczy dwóch w ciągu roku,

b) w ciągu roku wydarzy się dokładnie 5 wypadków.

2.13. Aby wynieść statek kosmiczny na orbitę, system napędowy musi pracować cały czas bez awarii. Prawdopodobieństwo pracy bez awarii jednego z urządzeń tego systemu wynosi 85%. Na pokładzie zainstalowane są 4 takie urządzenia, które pracują niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że system napędowy ulegnie awarii w czasie lotu?

2.14. Pewien niewielki zakład transportowy jest w stanie wynająć każdego dnia 2 samochody. Dzienna liczba zgłoszeń klientów chcących nająć samochód jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem l = 1,6.

c) Jaka jest oczekiwana dzienna liczba zgłoszeń klientów?

2.15. Ustalono, że średni roczny błąd prognozy dochodów pewnej firmy ma rozkład normalny ze średnią 31,3% i odchyleniem standardowym 10%. W firmie wykonano roczną prognozę dochodów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd prognozy:

a) będzie większy od 20% ale nie przekroczy 25%,

b) będzie większy niż 50%.